Vectores en Dos dimensiones (teoria)

Representar un vector como una flecha es una definición útil para nuestros propósitos.

Ejemplos conocidos en esta dirección son la velocidad, la aceleración de gravedad g, las fuerzas, etc..

• Un vector involucra magnitud , dirección y sentido.
• La magnitud de un vector es el largo de la flecha.
• La dirección es la línea sobre la cual descansa.
• El sentido indica hacia donde apunta.

Veamos un ejemplo:

En este caso se nos da la magnitud del vector, el ángulo que forma con la horizontal, (su dirección) y la punta de la flecha indica el sentido del vector. En mecánica necesitamos trabajar en un sistema de referencia. Generalmente es conveniente proyectar este vector sobre los ejes coordenados. Recurriendo a la trigonometría, podemos definir una componente horizontal y vertical.

          

La proyección en los ejes coordenados x e y, introduce naturalmente una nueva notación: 

Los vectores representados con una cuña en su parte superior i y j representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada)respectivamente.

Descripción Algebraica

Otra forma de describir un vector es mediante un par ordenado de números. En el caso de dos dimensiones, en el primer casillero se anota la magnitud de la proyección del vector en el eje X y en el segundo casillero, se incluye la proyección del vector en el eje Y. 

Para todas las notaciones que figuran se puede hacer el paso inverso, esto es obtener la magnitud del vector teniendo las componentes de las abscisas y las ordenadas de este aplicando el teorema de Pitágoras.

Suma y Resta de Vectores

Suma y resta de vectores  

¿Por que puede ser mas conveniente definir un vector según su componentes horizontales y verticales? 

Sumemos vectores:

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice mas lejano (ver dibujo).

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores:

El método del paralelógramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo.
El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A :

Definamos 2 vectores.

                                                        

Conociendo las componentes podemos demostrar en el gráfico siguiente que:

Así como se suman dos vectores, se pueden sumar tres y más vectores. Como la suma de cada una de sus componentes es asociativa, es decir, no importa el orden de la suma, el resultado es el mismo:

Producto de un vector por un escalar 

Si multiplicamos un vector por un numero escalar, este se amplifica en su magnitud, pero su ángulo queda igual. Veamos un ejemplo y su demostración: 

Si tenemos el vector   

Demostremos que su magnitud total se amplifica.

Calculemos la magnitud del vector amplificado. 

Es fácil demostrar que la dirección del vector no cambia, puesto que ambas componentes aumentan la misma fracción.

Principio de Superposición de Velocidades

Establece que cualquier movimiento en un espacio de tres dimensiones, puede ser descompuesto en tres movimientos independientes, uno por cada dimensión, de forma que con la suma de ellos (superposición) se obtiene el movimiento original del objeto.

Cuando uno de los movimientos independientes utilizado en la superposición, se materializa, se supone que el resto de los movimientos independientes se congelan. Aunque en la realidad los tres ocurren simultáneamente, el Principio de Superposición afirma que podemos estudiarlos en forma separada.

El Principio de Superposición, como su nombre lo indica es un Principio, y como tal debe ser aceptado o rechazado de acuerdo a sus resultados. Sabemos que no es válido en la teoría de la Relatividad Especial, pero en la mecánica no relativista ( donde solo participan velocidades mucho menores que la velocidad de la luz), nos permite descomponer movimientos complejos en una suma de movimientos simples. 

Vectores en el Plano